역동적 기하 소프트웨어를 활용한 증명 능력 신장

                                                                                                                                             한국교원대학교(류희찬)

 

 

1. 서론

기원전 3세기경 유클리드에 의해 집대성된 "원론"에서 제시된 증명의 공리적 전개 방법은 현재 학생들의 논리적 사고를 기르기 위한 주요한 방법의 하나로 현재 중학교와 고등학교에서 가르치고 있다. 그 방법은 대개 교사가 교과서에서 제시된 순서대로 하나하나 설명하는 형식으로 진행된다.

이 때 학생들은 교사들에 의해 설명되어지는 증명의 각 단계에 대해 의미를 느끼지 못하고 증명을 수동적으로 받아들이게 된다. 이러한 과정에는 상상, 직관, 실험, 사려 깊은 추측, 시행착오, 유추, 실패 등을 통해 이루어지는 수학적 발견의 과정이 생략되어 있으며 학생들은 왜 그와 같은 방법으로 증명되는지에 대한 이유를 모른 채 수학에 대한 자신감을 잃어간다.

추론 활동과 추론 활동의 결과를 이해하는 것은 다르다. 현재의 수학교육은 학생들의 연역 활동을 강조하기보다는 다른 사람이 연역한 결과를 이해 시키는 데 주안점을 두고있다. 학생들의 증명 능력을 향상시키기 위해서는 교사의 설명을 통한 "수동적 정당화"보다는 학생들이 자신의 입장에서 주어진 명제의 증명 방법을 찾는 "적극적 정당화"가 강조되어야 한다.

학생들이 스스로 증명 방법을 찾는 수학적 발견술은 멀리 AD 3세기로 거슬러 올라간다. "분석법"이라 불리는 이 발견술은 BC 3세기경 파푸스에 의해 체계적으로 정리되었다. 이것은 이전에 피타고라스 학파에 의해 자주 사용되었고 플라톤에 의해 그 중요성이 강조되었지만 유클리드 원론에서는 나타나지 않는다.

파푸스는 증명하고자 하는 것을 참인 것으로 가정하면서 시작한다. 선행하는 어떤 것으로부터 바라는 결과가 유도될 수 있는가 물으면서 그 선행하는 어떤 것이 무엇인지를 찾는다. 이 과정을 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것에 이를 때까지 반복한다. 이러한 과정을 <분석>이라 하고, 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정하는 명제로부터 출발하여 분석의 과정을 거꾸로 밟아 나가 마지막에 요구하는 명제에 도달하는 과정을 <종합>이라고 한다. 그리스인들은 분석과 종합의 변증법적 통합을 수학적 사고의 본질로 보았다.

이러한 분석법은 학생들의 연역적 증명 능력을 신장 시키기 위한 좋은 방법이지만 지필 환경에서 이 분석법을 시행하기에는 몇 가지 점에서 무리가 따른다. 첫째, 구하고자 하는 것이 작도 되어졌다고 보고 그 위에서 증명에 필요한 주요 아이디어를 찾아가는 활동을 하기 위해서는 정확한 그림이 그려질수록 유리하다. 지필 환경에서는 종이 위에 그린 그림은 부정확하므로 구조가 명확하게 들어 나지 않는 그림을 조작해서 문제해결에 필요한 주요 조건들을 계속해서 찾아내기가 힘들다.

둘째, 작도 문제를 해결하기 위한 분석법에서는 출발점을 정해 놓고 탐구 활동을 해야 하는데 완전히 정확하지는 않지만 어느 정도는 정확해야 다음 활동을 위한 출발점으로 의미가 있게 된다. 지필 환경은 자(ruler)와 각도기로 측정을 할 수밖에 없기 때문에 정확한 측정 활동이 거의 불가능하며 더구나 "연속적인" 측정은 전혀 불가능하기 때문에 결국 분석법의 출발점의 위치를 예측하기가 매우 힘들다. 셋째, 지필 환경에서 물리적인 자와 컴퍼스를 이용하여 분석 활동을 하는 경우 시간이 오래 걸릴 뿐 아니라 그 그림을 쉽게 지울 수 없으므로 시행 착오가 개제될 수 밖에 없는 분석적 탐구 활동을 한다는 것은 거의 불가능하다.

결국 분석법이 학교교육에 도입되기 위해서는, 특히 작도 문제와 관련하여 분석법을 지도하기 위해서는 지필 환경보다는 "역동적 기하" 환경이 필요하다고 본다. 현재 수학교육에 이용되고 있는 역동 적 기하 환경으로는 GSP4 (Geometer's Sketchpad), Cabri Geometry II, 신데렐라, iMathPad 등이 이고 TI와 CASIO 계열의 그래픽 계산기도 이와 유사한 기능을 수행할 수 있다. 이들 역동적 기하 환경은는 사용자가 컴퓨터 스크린 상의 도형을 직접 조작하면서, 도형의 성질이나 관계들을 탐구할 수 있도록 고안되어있다.

2. 분석법과 종합법

문제를 해결하기 위해서는 반드시 그 풀이 방법을 발견하는 과정을 거쳐야 한다. 실제적인 문제해결에서 전형적으로 유용한 발견과 발명의 방법이나 규칙, 전략과 전술 등을 발견술이라 하고 이에 대한 연구는 고대 그리스 시대로 거슬러 올라간다.

수학적 발견술 가운데에서 가장 오래된 방법 중의 하나가 분석법(analysis)이다. 이는 이미 피타고라스에 의해서 사용되었고 플라톤에 의해 강조되었으며 Euclid 원론에서는 사라졌다가 기원후 3세기경 그리스 수학자 파푸스에 의해 정리되었다.

분석법은 역행적 추론이라고도 불리는데, 찾고자 하는 것을 이미 찾은 것처럼, 증명해야 할 것을 참인 것처럼 가정하고, 바라는 결과가 이루어지기 위해 어떤 조건이 있어야 하는가를 묻고 이러한 과정을 계속 반복하여 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것에 도달하는 방법이다. 이와 반대의 과정으로 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 명제에서 출발하여 논리적으로 자연스러운 과정을 따라 마지막에 찾고자 하는 것이나 증명해야 할 명제에 이르는 과정을 종합이라고 한다. 종합은 가정으로부터 결론을 논리적으로 유도하는 연역적인 증명이라 할 수 있다.

파푸스의 분석법에는 두 가지 종류가 있다. 하나는 증명 문제에서 사용하는 '연역적 분석'이고 다른 하나는 답을 구하는 문제에서 사용하는 '환원적 분석'이 있다. 연역적 분석은 증명 문제에서 사용되는데 이는 우리가 증명하고자 하는 명제가 이미 성립하는 것처럼 가정하고 그 명제가 어떤 명제로부터 유도될 수 있는 가를 찾고 다시 그 명제는 어떤 명제로부터 유도될 수 있는 지 충분조건이 되는 명제를 계속 반복하며 찾아감으로써 참인 명제에 도달하는 방법이다. 환원적 분석은 답을 구하는 문제에서 사용되는데 이는 구하고자 하는 것을 이미 구했다고 가정하고 다시 그로부터 유도될 수 있는 명제를 찾아내고 또 그 명제로부터 유도될 수 있는 필요조건을 계속 찾아감으로써 이미 알고 있는 명제에 도달하는 방법이다. 기하 문제에서 작도문제를 해결하기 위하여 주어진 조건을 만족하는 도형을 이미 작도 되었다고 가정하고 그 도형을 작도하기 위해 필요한 도형을 찾아가는 방법이나 대수 문제에서 방정식이 풀린 것으로 가정하고 등식의 성질을 이용하여 필요조건을 찾아가며 해결하는 방법이 환원적 분석에 해당한다(강문봉, 1992).

현재의 중학교 기하에서의 증명은분석적 측면을 숨기고 종합적인 측면만을 보여주고있다. 따라서 학생들은 왜 그러한 과정이 나오게 되었는지를 알지 못한 채 증명의 기록을 암기하려는 태도를 보이게 된다. 학생들에게 도형의 성질에 대한 추측과 발견을 통해 증명의 필요성과 필연성을 인식시키고, '분석'을 통해 증명을 구상하는 과정을 거친 다음 '종합' 곧, 증명 과정을 명확히 기술함으로써 '증명하는' 활동을 몸에 붙이고, 증명의 본질을 이해하고 활용할 수 있도록 되어야 할 것이다(우정호, 1998).

분석법의 예를 들면 다음과 같다.

정리: 모든 삼각형에는 내접원이 하나 존재한다.

분석의 골격:

삼각형 ABC의 내접원이 존재한다.

삼각형 ABC의 각 변에 접하는 원이 존재한다.

삼각형 ABC의 각 변으로부터 같은 거리에 있는 점이 존재 한다

각 A의 이등분선 위의 모든 점은 변 AB, AC로부터 같은 거리에 있다.

각 C의 이등분선 위의 모든 점은 변 CB, CA로부터 같은 거리에 있다.

이 두 각의 이등분선은 서로 교차하고, 그 교점은 각 변으로부터 같은 거리에 있다.


작도 문제: 반지름이 r인 원과 이 원의 중심 O로 부터의 거리가 d인 직선 MN이 주어졌을 때 원O와 접하고 직선 MN과 주어진 점 A에서 접하는 원을 작도하여라.

분석 과정: 문제가 풀렸다고 하고 원이 작도 되었다고 하자.

그 원의 중심 O´는 A에서 MN에 수직이 되게 그은 수선 위에 있다.

O´를 중심으로 반지름이 OO´인 원을 그려 위의 수선과 MN밑에서 만나는 점을 C라 하자.

삼각형 OO´C는 이등변삼각형이다.

따라서, 이 이등변삼각형의 밑변의중점을 L이라 하면 OL과 O'C는 수직으로 만난다.

결국 C점만 찾으면 L을 찾아 O´를 찾을 수 있다.



3. 역동적 기하 환경

최근 컴퓨터의 발달과 다양한 소프트웨어의 개발로 수학교육에서 컴퓨터의 활용이 다양해졌으며, 이는 수학의 내용, 성격, 수학적 사고 방법까지 변화시키고 있다. 지필 환경에서 기하의 학습은 자와 컴퍼스를 이용해 작도를 하기에는 시간도 오래 걸리고 정확성도 부족하며 그 그림을 조작하거나 변화시키는 것이 불가능하여 기하학적 성질을 탐구하기에 어려움이 있었다. 이러한 어려움을 극복하기 위한 방법으로 기하 학습에서 역동적 기하 환경을 활용할 수 있다. 역동적 기하 소프트웨어는 마우스 조작을 통하여 구체적이고 시각적인 모델을 직접 만들 수 있고, 풍부한 표현력을 제공한다. 또한, 정확한 작도를 가능하게 하고 도형을 분석하고 변형하는 등 실험의 도구로 사용됨으로써 적극적인탐구와 추론을 가능하게 한다.

de Villers M.(1998. 정보나 외, 2002 재인용)은 역동적 기하 환경의 발달은 유클리드 이래 기하에서 가장 흥미 있는 발달이며, 많은 나라에서 기하 교육과정을 회생시켰다고 주장한다. 또 역동적 기하 환경은 실험을 통해 탐구하고 추측할 수 있으며 추측이 참임을 증명하는 강력한 도구일 뿐만 아니라, 잘못된 추측에 대한 반례를 구성하는 데 매우 중요한 도구로서 논리적인 사고를 촉진시킨다고 하였다. 또한 역동적 기하 환경의 발전은 증명에 대한 수업에서 근본적인 변화를 요구한다고 주장한다. 따라서 설명이나 발견과 같은 또 다른 증거 제시의 기능들이, 학생들에게 의미 있는 활동으로서 증명을 도입하기 위해 효과적으로 활용되어야 한다고 강조한다.

현재 수학교육에 이용되고 있는 역동적 기하 환경으로는 GSP4 (Geometer's Sketchpad), Cabri Geometry II, 신데렐라, iMathPad 등이 있다. 사용자가 컴퓨터 스크린 상의 도형을 직접 조작하면서, 도형의 성질이나 관계들을 탐구할 수 있도록 고안되어진 이들 소프트웨어는, 1980년대 말 소개되었다.

동적인 환경의 특성으로는 직접적인(direct) 조작, 연속적인(continuous) 움직임, 몰입적인(immersive) 환경을 들 수 있다. 여기서, 직접적인 조작이란 사용자가스크린 상의 한 대상을 선택하여 직접 움직여볼 수 있음을 의미하며, 조작을 통해 스크린 상에 보여 지는 대상과 그 이면에 숨겨진 수학적 의미 사이의 인식 거리를 좁힐 수 있다. 동적인 환경의 두 번째 특성으로 제시된 연속적인 움직임이란 '드래그(drag)' 동안에 일어나는 변화와 관련된 것으로, '드래그' 동안에 스크린 상의 수학적 대상들이 항상 논리적인 관련성과 전체모양을 유지하면서 움직여질 뿐만 아니라, 대상들이 변하는 중간상태를 사용자가 모두 볼 수 있음을 의미한다. 몰입적인 환경이란 사용자의 초점이 작도를 위한 기술적 방법보다는 수학적 목표를 달성하는 방법에 맞추어질 수 있도록 하는 환경을 말한다.

역동적 기하는 메뉴 옵션이나 아이콘 또는 버튼 등에서 서로 다른 모양을 갖추고 있음에도 불구하고 다음과 같은 몇 가지 공통된 특성을 가지고 있다. 첫째, 이것들 모두가 유클리드 원론에 규정된 자와 컴퍼스 작도를 흉내 내고 있다는 것이다. 둘째, 기능적으로 사용자에 의해 정의된 작도를 지원하고 있다는 것이다. 셋째, 이들 소프트웨어의 가장 큰 특징은 도형을 이루는 어떤 요소들(점, 선분, 원 등)을 움직여 그것의 모양을 변화시키더라도, 도형의 근간을 이루는 기하학적인 관계는 계속적으로 유지된다는 것이다.

역동적 기하 환경의 장점은 다음과 같다.

① 동적인 평면기하의 성질을, 정적인 상태의 인쇄 매체, 칠판에서의 강의 등을 통하여 지도할 때보다 더욱 확실하게 이해시 킬 수 있다.

② 학생들의 흥미를 자극하여 학습에 대한 욕구를 유발하고, 학습자의 능동적인 참여를 유도할 수 있다.

③ 탐구활동을 통해, 기하학적 내용을 추측하거나확인할 기회를 제공하거나 제공받을 수 있으며, 이를 통해, 추측하거나 확인한 사실을 정당화하고자 하는 욕구, 즉 증명의 필요성을 느끼게 할 수 있다. 또한 이러한 활동은 기하교육의 목표 중 하나인 사고력 증진과 추론 능력의 향상에 많은 도움을 줄 수 있다.

④ 기하학을 학습하는 과정에서 새로운 사실을 발견하고, 다양한 기하 문제에 대한 탐구가 가능하다.

⑤ 평면기하의 여러 가지 성질에 대한 다양한 접근은 물론 대수와 기하, 예술과 기하 사이의 연결이 자연스럽게 제시될 수 있다.

4. 분석법 활동 자료 개발의 예

역동적 기하 환경에서 분석법의 활용이 학생들의 작도 문제 해결에 어떤 영향을 미치고, 이러한 활동이 학생들의 증명능력에 어떤 영향을 미치는지를 알아보기 위하여 실험수업에서 나타난 자료를 기초로 하여 연구 문제를 분석하고자 한다.

활동지1

 

문제1】다음 직각삼각형 ABC에 내접하는 정사각형을 작도하시오. 단, 정사각형의 한 꼭지점은 B와 일치하고, 나머지 세 꼭지점은 AB, BC, AC 위에 있다.

◈ 문제 이해

(1) 주어진 조건은 무엇인가?

(2) 구하고자 하는 것은 무엇인가?

◈ 분석

(1) 구하는 도형이 작도된 것처럼 그려보시오.

(2) 그려진 도형을 찾기 위해 필요한 도형들을 그려 보시오.

(3) 이러한 도형들을 주어진 조건으로부터 작도할 수 있는 지 생각해 보시오.

◈ 종합

(1) 분석의 방법과 반대 순서로 주어진 도형으로부터 작도를 해 보시오.

(2) 주어진 도형을 움직였을 때도 필요한 성질을 만족하는지 확인해 보시오.

(3) 작도 방법을 순서대로 적어보시오.

◈ 반성

(1) 문제해결 과정에서 가장 어려웠던 점은?

(2) 이 문제를 해결하는 데 중요하다고 생각되는 아이디어는?

문제 2. 다음 삼각형 ABC에 내접하는 정사각형을 작도하시오. 단, 정사각형의 두 꼭지점은 AB 위에 있고 나머지는 각각 AC, BC 위에 있다.

 

◈ 문제 이해

(1) 주어진 조건은 무엇인가?

(2) 구하고자 하는 것은 무엇인가?

◈ 분석

(1) 구하는 도형이 작도된 것처럼 그려보시오.

(2) 그려진 도형을 찾기 위해 필요한 도형들을 그려 보시오.

(3) 이러한 도형들을 주어진 조건으로부터 작도할 수 있는 지 생각해 보시오.

◈ 종합

(1) 분석의 방법과 반대 순서로 주어진 도형으로부터 작도를 해 보시오.

(2) 주어진 도형을 움직였을 때도 필요한 성질을 만족하는지 확인해 보시오.

(3) 작도 방법을 순서대로 적어보시오.

◈ 반성

(1) 문제해결 과정에서 가장 어려웠던 점은?

(2) 이 문제를 해결하는 데 중요하다고 생각되는 아이디어는?

(3) 한 걸음 더

- 다음 부채꼴에 내접하는 정사각형을 작도하시오. 단, 정사각형의 두 꼭지점은 OA 위에 있고, 하나는 OB 위에 나머지는 호 AB 위에 있다.


5. 수업의 분석 틀

(1) 역동적 기하의 끌기, 측정, 변형 기능을 이용하면 보다 정확한 작도가 가능하여 분석법의 사용이 용이해지는가?

지필 환경에서의 그림은 부정확하고한 번 그려진 그림은 조작을 할 수 없기 때문에 도형 사이의 관계를 알아내기 힘들다. 따라서 충분히 숙달되어 있지 않으면 분석법을 사용하기가 쉽지 않다. 하지만 역동적 기하를 사용하면 구하고자 하는 도형을 정확히 그릴 수 있고 끌기를 통한 변형이나 이동이 가능하여 학생들도 분석법을 쉽게 사용할 수 있다고 믿어지는데 실제로 학생들은 역동기하환경에서 분석법을 쉽게 구현할 수 있는가?.

2) 역동적 기하 환경에서는 다양한 시도를 통한 적극적인 추론과 탐구 활동이 가능한가?

역동적 기하를 이용하면 학생들은 차츰 자신의 생각을 자주 화면에 옮겨서 확인을 할 수 있으며 옳은 추측이든 옳지 않은 추측이든 화면에서 그려보고 이를 움직여서 확인을 할 수 있으며 그 추측이 옳지 않다고 판단되면 다른 방법으로 전환을 할 수 있다고 믿어 진다. 실제로 역동적 기하 환경에서는 이러한 적극적인 추측 활동이 가능한가?

3) 역동적 기하 환경에서는 분석 과정에 도움을 줄 수 있는 다양한 보조선을 그릴 수 있고, 문제 해결 과정에서 이를 적극적으로 활용할 수 있는가?

작도법을 찾아내기 위해서는 보조선이 중요한 역할을 한다. 일반적으로 학생들은 보조선을 긋는 것을 어려워하고 왜 그렇게 긋는 지를 이해하지 못할 때가 많다. 역동적 기하를 이용하여 작도 문제를 해결하면서 학생들은 보조선을 여러 형태로 그어가면서 문제를 해결해 나가게 되고 여기서 문제 해결에서 실마리를 찾을 수 있는가?

4) 역동적 기하 환경의 끌기 기능을 통하여 작도 결과가 옳은 지를 역동적으로 확인할 수 있는가?

작도법을 찾은 후 그 방법이 옳은 지 확인하기 위해 학생들은 문제에 주어진 도형들을 변화시키면서작도한 도형이 맞는지를 점검할 수 있다. 주어진 도형을 움직였을 때 작도한 도형이 조건에 맞지 않을때 틀렸음을 확인하고 다른 방법을 찾으려 하고 계속 구하는 조건이 유지가 되면 옳게 작도된 것임을 인지할 수 있는가?

5) 문제의 주어진 조건과 구하고자 하는 도형을 인식하고 결론부터 거꾸로 분석을 해나가는 과정을 통하여 가정과 결론의 구분을 잘 할 수 있게 된다.

작도 문제나 증명 문제를 해결하기 위해서는 먼저 학생들이 가정과 결론을 명확히 구분할 수 있어야 한다. 서동엽(1999)은 학생들은 'p이면 q이다' 형식으로 주어진 조건문에서 가정과결론으로 문장을 기술할 수는 있으나, 가정과 결론에 도형의 성질이 포함되어 있는 경우에 그 도형의 정의를 정확히 알지 못하기 때문에 가정과 결론을 기호로 나타내지 못하는 경우가 많았다고 하였다. 역동적 기하 환경에서의 분석법의 활용은 이러한 학생들의 인식을 도와줄 수 있는가?

6) 증명 과정에서 보조선을 그려서 문제를 해결 하려는 태도를 보이는가?

기하 문제에서 학생들이 어려워하는 것 중의 하나가 증명과정에서 갑자기 등장하는 보조선이다. 중학교에 나오는 증명 문제에는 반드시 그 보조선을 그어야만 해결할 수 있는 문제들이 많은데 그것을 긋는 이유에 대한 설명은 불충분하다. 역동적 기하 환경 하에서 작도 문제를 해결할 때 앞에서 언급한 바와 같이 학생들의 보조선을 적극적으로 사용하게 되고 문제 해결에 도움이 되든 되지 않든 보조선을 그려서 문제를 해결하려는 태도를 보이는가?

7) 작도의 방법을 발견하는 분석의 과정을 통하여 이와 반대 순서인 종합의 과정을 자연스럽게 이해하고 정당화할 수 있는가?

작도 방법을 찾은 이후에 그것을 증명을 하려하는 태도를 보이는가? 또한 초기에는 작도법을 기호나 정확한 용어를 사용하지 않고 기술하였는데 차츰 도형을 문자를 이용해서 설명하고수학적 용어를 사용하여 설명하려는 태도를 보이는가?

8) 분석하고 추측하고 정당화하는 활동을 통해 증명의 중요성과 가치에 대해 인식할 수있는가?

많은 학생들은 증명을 싫어한다고 하였다. 분석법 활동은 학생들이 가지고 있는 증명에 대한 부정적 인식과 태도를 개선할 수 있는가?

6. 연구의 의미 및 시사점

첫째, 현재 중학교 기하 단원 지도는 분석의 과정을 감추고 종합에 의한 증명 과정만을보여주고 있으며 학생들은 이를 어려워하고 외우려고 한다. 현재의 교과서의 기하단원 특히증명의 지도를 역동적 기하 환경에서 분석에 의한 탐구가 가능해 질 때 이를 어떻게 활용하여 지도할 것인 지에 대한 한 가지 방법론이 제시될 수 있다.

둘째, 학생들이 혼자의 힘으로 분석법을 활용하거나 문제를 해결할 수 없는 경우가 많기 때문에 교사의 역할이 중요하다. 역동적 기하 환경에서 학생들이 분석과 종합의 통합적 활동을 할 수 있도록 하기 위해서 교사는 어떤 역할을 해야 하는 지에 대한 시사를 얻을 수 있다.

셋째, 새로운 수업 방안을 소개할 때 가장 문제가 되는 것은 평가를 어떻게할 것인가 이다. 학생의 증명 능력을 신장 시키기 위해 역동적 기하 소프트웨어를 활용해야 한다면 여기에 맞는 평가 방법이 개발될 필요가 있다. 본 연구에서는 컴퓨터를 활용한 수업 방법에 대한 한 가지 평가 방법에 대한 시사점을 얻을 수 있다.

넷째, 본 연구는 우리 나라 학생들의증명 능력을 신장시키고자 하는 구체적인 방법론을 개발하는 연구라는 점에서 교과서 개발이나 교육과정 개발에 시사점을 얻을 수 있다.

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